Question

在R上定义运算?：x?y=x（1-y），若不等式（x-a）?（x+a）＜1对一切实数x都成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据新定义化简不等式，得到a²-a-1＜x²-x因为不等式恒成立，即要a²-a-1小于x²-x的最小值，先求出x²-x的最小值，列出关于a的一元二次不等式，求出解集即可得到a的范围．

解答：解：由已知：（x-a）?（x+a）＜1，
∴（x-a）（1-x-a）＜1，
即a²-a-1＜x²-x．
令t=x²-x，只要a²-a-1＜t_min．
t=x2-x=(x-

1

2

)2-

1

4

，当x∈R，t≥-

1

4

．
∴a2-a-1＜-

1

4

，即4a²-4a-3＜0，
解得：a∈(-

1

2

，

3

2

)．

点评：考查学生理解新定义并会根据新定义化简求值，会求一元二次不等式的解集，掌握不等式恒成立时所取的条件．