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    【题目】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中对几何学的研究比西方早一千多年.在该书中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在堑堵中，，，鳖臑的体积为2，则阳马外接球表面积的最小值为__________．

    【答案】

    【解析】

    根据“四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑”可知阳马外接球球心为的中点，且为外接球的直径.通过鳖臑的体积为2，求得堑堵的体积，设出的长，求得球的直径的表达式，进而求得球的表面积的表达式，再通过基本不等式求得表面积的最小值.

    由于“四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑”，故可知阳马外接球球心为的中点，且为外接球的直径. 鳖臑的体积为，故堑堵的体积为.设，依题意.而，故阳马外接球表面积为，由基本不等式得，即阳马外接球表面积的最小值为.

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    （I）根据已知条件完成2×2列联表，并根据此资料判断是否有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”？

    2×2列联表：

    青年

    中老年

    合计

    使用手机支付

    120

    不使用手机支付

    48

    合计

    200

    （Ⅱ）现采用分层抽样的方法从这200名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”抽取一个容量为10的样本，再从中随机抽取3人，求这三人中“使用手机支付”的人数的分布列及期望.

    附：

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

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    A.0.15B.0.21C.0.24D.0.30

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    （1）当时，求的单调区间和极值；

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    分数不少于120分

    分数不足120分

    合计

    线上学习时间不少于5小时

    4

    19

    线上学习时间不足5小时

    合计

    45

    （1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；

    （2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，求至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率.

    （下面的临界值表供参考）

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    （参考公式 其中）

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