Question

3．在${（1-{x^2}+\frac{2}{x}）^7}$的展开式中的x³的系数为-910．

Answer 1

分析 根据组合数的意义，在${（1-{x^2}+\frac{2}{x}）^7}$的7个因式中，取2个-x²，1个$\frac{2}{x}$，4个1，即得含x³的项；
或取3个-x²，3个$\frac{2}{x}$，1个1，也得含x³的项；由此求出结果．

解答 解：在${（1-{x^2}+\frac{2}{x}）^7}$的7个因式（1-x²+$\frac{2}{x}$）的乘积，
在这7个因式中，有2个取-x²，有一个取$\frac{2}{x}$，其余的因式都取1，即可得到含x³的项；
或者在这7个因式中，有3个取-x²，有3个取$\frac{2}{x}$，剩余的一个因式取1，即可得到含x³的项；
故含x³的项为${C}_{7}^{2}$•${C}_{5}^{1}$•2•${C}_{4}^{1}$-${C}_{7}^{3}$•${C}_{4}^{3}$•2³=210-1120=-910，
展开式中的x³的系数为-910．
故答案为：910．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应用组合数的性质，应用转化思想，是基础题目．