Question

设△△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=

7

9

．
（Ⅰ）求a和c的值；           
（Ⅱ）求sin（A-B）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由余弦定理和已知数据可得ac=9，结合a+c=6可得a=c=3；       
（Ⅱ）由余弦定理可得cosA，进而可得sinA，由cosB=

7

9

可得sinB，而sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB，代值计算可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵a+c=6，b=2，cosB=

7

9

．
由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
∴2²=a²+c²-

14

9

ac=（a+c）²-

32

9

ac=36-

32

9

ac，
解得ac=9，结合a+c=6可得a=c=3；       
（Ⅱ）由余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

3

，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

又cosB=

7

9

，∴sinB=

1-cos2B

=

4 2

9

∴sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB
=

2 2

3

×

7

9

-

1

3

×

4 2

9

=

10 2

27

点评：本题考查正余弦定理，涉及三角函数的运算，属基础题．