Question

20．已知实数a，b满足ab＞0，a²b=2，m=ab+a²．
（Ⅰ）求m的最小值；
（Ⅱ）若m的最小值为t，正实数x，y，z满足x²+y²+z²=$\frac{t}{3}$，求证：|x+2y+2z|≤3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件a＞0，b＞0，m=ab+a²=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab+a²，利用基本不等式求得m的最小值．
（Ⅱ）由条件利用柯西不等式求得得：（x²+y²+z²）•（1²+2²+2²）≥（x+2y+2z）²成立，从而证得结论．

解答 （Ⅰ）解：∵ab＞0，a²b=2，
∴a＞0，b＞0，
∴m=ab+a²=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab+a²≥$3\root{3}{\frac{ab}{2}•\frac{ab}{2}•{a}^{2}}$=3，
当且仅当$\frac{1}{2}$ab=a²，即a=1，b=2时取等号，
∴m的最小值是3；
（Ⅱ）证明：∵x²+y²+z²=1，由柯西不等式得：（x²+y²+z²）•（1²+2²+2²）≥（x+2y+2z）²，
整理得：9≥（x+2y+2z）²，
∴|x+2y+2z|≤3．

点评 本题主要考查基本不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想，属于中档题．