Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+\frac{4}{x}+m（x＞0）}\\{{2}^{x}+m（x≤0）}\end{array}\right.$，若方程f（x）=-2x有且只有一个实数根，则实数m的取值范围为m≥-1或m=-8．

Answer 1

分析 由题意，x≤0时，f（x）≤1+m，x＞0时，f（x）＞4$\sqrt{2}$+m．根据方程f（x）=-2x有且只有一个实数根，可得不等式，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：由题意，x≤0时，m＜f（x）≤1+m，x＞0时，f（x）＞4$\sqrt{2}$+m（当且仅当x=$\sqrt{2}$时，f（x）=4$\sqrt{2}$+m）．
x=$\sqrt{2}$时，-2x=-2$\sqrt{2}$．
∵方程f（x）=-2x有且只有一个实数根，
∴1+m≥0，且4$\sqrt{2}$+m≥-2$\sqrt{2}$，
∴m≥-1．
m=-8时方程f（x）=-2x有且只有一个实数根，
故答案为：m≥-1或m=-8．

点评 本题考查分段函数，考查函数值域，考查学生的计算能力，属于中档题．