Question

9．已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC=120°，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=-$\frac{15}{2}$．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）若AB=5，求AD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知展开数量积，求出AB•AC的值，代入三角形面积公式得答案；
（Ⅱ）解法1：由AB=5，结合（Ⅰ）求得AC，延长AD到E，使AD=DE，连结BE，得到四边形ABEC为平行四边形，求出∠ABE=60°，设AD=x，则AE=2x，在△ABE中，由余弦定理求得x值得答案；
解法2：在△ABC中，由余弦定理得BC，再由正弦定理求得∠ACD的正弦值，进一步求得其余弦值，在△ADC中，利用余弦定理求得AD；
解法3：在△ABC中，由余弦定理得BC，在△ABC中，由余弦定理求出∠ACB，在△ADC中，由余弦定理求得AD．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=-\frac{15}{2}$，
∴$AB•AC•cos∠BAC=-\frac{1}{2}AB•AC=-\frac{15}{2}$，
即AB•AC=15，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB•ACsin∠BAC=\frac{1}{2}×15×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$；
（Ⅱ）解法1：由AB=5，得AC=3，
延长AD到E，使AD=DE，连结BE，
∵BD=DC，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∴∠ABE=60°，且BE=AC=3，
设AD=x，则AE=2x，在△ABE中，由余弦定理得：（2x）²=AB²+BE²-2AB•BEcos∠ABE=25+9-15=19，
解得$x=\frac{{\sqrt{19}}}{2}$，即AD的长为$\frac{{\sqrt{19}}}{2}$；
解法2：由AB=5，得AC=3，
在△ABC中，由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC=25+9+15=49，
得BC=7，
由正弦定理得：$\frac{BC}{sin∠BAC}=\frac{AB}{sin∠ACD}$，
得$sin∠ACD=\frac{ABsin∠BAC}{BC}=\frac{{5×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{7}=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$，
∵0°＜∠ACD＜90°，
∴$cos∠ACD=\sqrt{1-{{sin}^2}∠ACD}=\frac{11}{14}$，
在△ADC中，$A{D^2}=A{C^2}+C{D^2}-2AC•CDcos∠ACD=9+\frac{49}{4}-2×3×\frac{7}{2}×\frac{11}{14}=\frac{19}{4}$，
解得$AD=\frac{{\sqrt{19}}}{2}$；
解法3：由AB=5，得AC=3，
在△ABC中，由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC=25+9+15=49，
得BC=7，
在△ABC中，$cos∠ACB=\frac{{A{C^2}+B{C^2}-A{B^2}}}{2AC•BC}=\frac{9+49-25}{2×3×7}=\frac{11}{14}$，
在△ADC中，由$A{D^2}=A{C^2}+C{D^2}-2AC•CDcos∠ACD=9+\frac{49}{4}-2×3×\frac{7}{2}×\frac{11}{14}=\frac{19}{4}$，
解得$AD=\frac{{\sqrt{19}}}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．