Question

1．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的右顶点为A，过椭圆长轴所在直线上的一个定点M（m，0）（不同于A）任作一条直线与椭圆相交于P、Q两点，直线AP、AQ的斜率分别记为k₁、k₂．
（1）当PQ⊥x轴时，求$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$；
（2）求证：k₁•k₂等于定值．

Answer 1

分析 （1）解：当PQ⊥x轴时，-2＜m＜2，把x=m代入椭圆方程可得：$\frac{{m}^{2}}{4}$+y²=1，解得y．再利用数量积运算性质即可得出．
（2）设直线PQ的方程为：ty=x-m，（-2≤m＜2）．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．与椭圆方程联立可得：（t²+4）y²+2tmy+m²-4=0，利用斜率计算公式及其根与系数的关系代入k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+（m-2）t（{y}_{1}+{y}_{2}）+（m-2）^{2}}$，即可证明．

解答 （1）解：当PQ⊥x轴时，-2＜m＜2，把x=m代入椭圆方程可得：$\frac{{m}^{2}}{4}$+y²=1，解得y=±$\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{2}$．
不妨设P$（m，\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{2}）$，Q$（m，-\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{2}）$．A（2，0）．
则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$=$（m-2，\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{2}）$•$（m-2，-\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{2}）$=（m-2）²-$\frac{4-{m}^{2}}{4}$=$\frac{5{m}^{2}-16m+12}{4}$．
（2）证明：设直线PQ的方程为：ty=x-m，（-2≤m＜2）．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ty=x-m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（t²+4）y²+2tmy+m²-4=0，
y₁+y₂=-$\frac{2tm}{{t}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-4}{{t}^{2}+4}$．
k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$$•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{（t{y}_{1}+m-2）（t{y}_{2}+m-2）}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+（m-2）t（{y}_{1}+{y}_{2}）+（m-2）^{2}}$=$\frac{m+2}{4m-8}$．
由于上式与斜率无关系，因此是定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．