Question

12．在△ABC中，已知BC=2，AC=$\sqrt{7}$，$B=\frac{2π}{3}$，那么△ABC的面积是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理解出sinA，cosA，根据两角和的正弦公式计算sinC，代入三角形的面积公式求得面积．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，即$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{sinA}$，
解得sinA=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，∴cosA=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{21}}{7}×（-\frac{1}{2}）+\frac{2\sqrt{7}}{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•BC•sinC$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{7}×\frac{\sqrt{21}}{14}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积计算，属于中档题．