Question

20．若不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x+3y-4≥0}\\{3x+y-4≤0}\\{x≥0}\end{array}}\right.$所表示的平面区域被直线y=kx+$\frac{4}{3}$分为面积相等的两部分，则k的值是（　　）

• A． $\frac{3}{7}$
• B． $\frac{7}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，由直线y=kx+$\frac{4}{3}$过点A（0，$\frac{4}{3}$），结合平面区域被直线y=kx+$\frac{4}{3}$分为面积相等的两部分，可知直线过B，C的中点D，求出D的坐标，利用两点求斜率公式得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+3y-4≥0}\\{3x+y-4≤0}\\{x≥0}\end{array}}\right.$作出可行域如图，

A（0，$\frac{4}{3}$），C（0，4），
联立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-4=0}\\{x+3y-4=0}\end{array}\right.$，解得B（1，1），
直线y=kx+$\frac{4}{3}$过定点A（0，$\frac{4}{3}$），
要使平面区域被直线y=kx+$\frac{4}{3}$分为面积相等的两部分，
则直线y=kx+$\frac{4}{3}$过BC的中点D，
由中点坐标公式D（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∴$k={k}_{AD}=\frac{\frac{5}{2}-\frac{4}{3}}{\frac{1}{2}-0}=\frac{7}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．