Question

8．设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=a_n+2，n∈N^*，数列{b_n}为等比数列．已知a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a_n•（1+2log₃b_n）•c_n=1，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式可得a_n．由于数列{b_n}为等比数列．已知a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．分别令n=1，2，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由于（a_n+1）•log₃b_n+2•c_n=2n（n+2）•c_n=1，可得c_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=a_n+2，n∈N^*，a₁=1，
∴{a_n}是1为首项，2为公差的等差数列．
∴a_n=2n-1．                                          …（3分）
∵a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3，
∴a₁b₁=3，a₁b₁+a₂b₂=30，
解得b₁=3，b₂=9．
∴{b_n}的通项公式为b_n=3ⁿ．                            …（7分）
（Ⅱ）∴a_n•（1+2log₃b_n）•c_n=（2n-1）•（2n+1）•c_n=1，
∴c_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）             …（10分）
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．                         …（13分）

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．