Question

16．如图，△ABC内接于圆O，过B点的切线为BE，∠CBE的角平分线交圆O于点D，连接AD交BC于F，延长交BE于E．
（Ⅰ）证明：AD平分∠BAC；
（Ⅱ）证明：BD²-DF²=BF•CF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AD是∠BAC的平分线，只需证明∠CAD=∠BAD，利用BE是圆O的切线，BD是∠CBE的平分线即可证明；
（Ⅱ）先证明△BDA∽△FDB，可得$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{FD}$，即BD²=AD•FD，再结合相交弦定理，即可证明结论．

解答 证明：（Ⅰ）∵BE是圆O的切线，
∴∠EBD=∠BAD=∠BCD，
∵BD是∠CBE的平分线，
∴∠CBD=∠BAD，
∴∠CAD=∠CBD=∠BAD，
∴AD是∠BAC的平分线，即AD平分∠BAC；
（Ⅱ）∵∠CAD=∠BAD，∠CAD=∠FBD，
∴∠BAD=∠FBD，
∵∠BDA=∠FDB，
∴△BDA∽△FDB，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{FD}$，
∴BD²=AD•FD，
∴BD²-DF²=AD•FD-DF²=AF•FD
∵AF•FD=BF•CF，
∴BD²-DF²=BF•CF．

点评 本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形相似的判断与运用，难度中等．