Question

7．下列命题：
①若$α+β=\frac{7π}{4}$，则（1-tanα）•（1-tanβ）=2；
②已知$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow{b}$=（2，λ），且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是λ＜1；
③已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，λ∈（0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的重心；
④在△ABC中，∠A=60°，边长a，c分别为$a=4，c=3\sqrt{3}$，则△ABC只有一解；
⑤如果△ABC内接于半径为R的圆，且$2R（{sin^2}A-{sin^2}C）=（\sqrt{2}a-b）sinB$，则△ABC的面积的最大值$\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}{R^2}$；
其中真命题的序号为①③⑤．

Answer 1

分析 ①利用两角和差的正切公式进行化简即可，
②根据向量数量积与三角形夹角的关系进行判断，
③根据三角形重心的定义以及向量的基本运算进行判断，
④根据正弦定理进行判断，
⑤根据正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式进行判断即可．

解答 解：①若$α+β=\frac{7π}{4}$，则tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=-1，
即tanα+tanβ=tanα+tanβ-1，
则（1-tanα）•（1-tanβ）=1-（tanα+tanβ）+tanαtanβ=1-tanαtanβ+1+tanαtanβ=2；故①正确，
②已知$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow{b}$=（2，λ），且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2-2λ＜0，则λ＜1，
当$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$同向共线时，满足$\frac{2}{1}=\frac{λ}{-2}$，则λ=-4，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，则的实数λ的取值范围是λ＜1且λ≠-4；故②错误，
③设BC的中点为D，则AD为△ABC中BC边上的中线，
∴$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\overrightarrow{OA}+2λ\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AP}=2λ\overrightarrow{AD}$
∴P、A、D三点共线
∴P的轨迹一定通过△ABC的重心，故③正确，
④在△ABC中，∠A=60°，边长a，c分别为$a=4，c=3\sqrt{3}$，
则$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，即sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{3\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{4}=\frac{9}{8}$＞1，此时sinC不垂直，即△ABC没有解；故④错误，
⑤∵2R（sin²A-sin²C）=（$\sqrt{2}$a-b）sinB，∴根据正弦定理，得a²-c²=（$\sqrt{2}$a-b）b=$\sqrt{2}$ab-b²，
可得a²+b²-c²=$\sqrt{2}$ab
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{2}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为$\frac{π}{4}$
∵c=2Rsin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$R
∴由余弦定理c²=a²+b²-2a•bcosC，可得
2R²=a²+b²-$\sqrt{2}$a•b≥2ab-$\sqrt{2}$ab=（2-$\sqrt{2}$）ab，当且仅当a=b时等号成立
∴ab≤$\frac{2{R}^{2}}{2-\sqrt{2}}$=（$2+\sqrt{2}$）R²
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$•（$2+\sqrt{2}$）R²•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$R²
即△ABC面积的最大值为$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$R²；故⑤正确，
故答案为：①③⑤

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及两角和差的正切公式，向量的数量积以及基本运算，正弦定理和余弦定理的应用，综合性较强，难度较大．