Question

12．若0＜x，y，z＜1，求证：x（1-y），y（1-z），z（1-x）不可能都大于$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 利用反证法，先对结论进行否定，再利用基本不等式，推出矛盾即可．

解答 证明：假设三个式子都大于$\frac{1}{4}$，
即（1-x）y＞$\frac{1}{4}$，（1-y）z＞$\frac{1}{4}$，（1-z）x＞$\frac{1}{4}$，
三个式子相乘得：
（1-x）y•（1-y）z•（1-z）x＞$\frac{1}{{4}^{3}}$     ①
∵0＜x＜1，∴x（1-x）≤（$\frac{x+1-x}{2}$）²=$\frac{1}{4}$
同理：y（1-y）≤$\frac{1}{4}$，z（1-z）≤$\frac{1}{4}$，
∴（1-x）y•（1-y）z•（1-z）x≤$\frac{1}{{4}^{3}}$ ②
显然①与②矛盾，所以假设是错误的，故原命题成立．

点评 本题考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，在此基础上推出矛盾，是解题的关键．