Question

2．如图所示，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，且AB=4，SA⊥平面ABCD，∠SDA=60°，E、F、G分别是SC、SD、AC上的点，且$\frac{SE}{EC}$=$\frac{SF}{FD}$=$\frac{AG}{GC}$．
（1）求证：FG∥平面SAB；
（2）若平面ABE⊥平面SCD，求多面体SABEF的体积．

Answer 1

分析 （1）连结EG．由$\frac{SE}{EC}=\frac{AG}{GC}$，$\frac{SF}{FD}$=$\frac{SE}{EC}$可得EG∥SA，EF∥CD∥AB，于是平面EFG∥平面SAB，故FG∥平面SAB；
（2）由SA⊥平面ABCD，得SA⊥AB，又AD⊥AB，故AB⊥平面SAD，于是EF⊥平面SAD，得出EF⊥AF，EF⊥SF，由平面ABE⊥平面SCD得SF⊥平面ABEF，利用直角三角形的性质和等分线段成比例计算出AF，SF，EF，从而求出棱锥的体积．

解答 证明：（1连结EG．
∵$\frac{SE}{EC}=\frac{AG}{GC}$，$\frac{SF}{FD}$=$\frac{SE}{EC}$，
∴EG∥SA，EF∥CD，又AB∥CD，
∴EF∥AB，
∵EF?平面EFG，EG?平面EFG，AB?平面SAB，SA?平面SAB，EF∩EG=E，SA∩AB=A，
∴平面EFG∥平面SAB．
∵FG?平面EFG，
∴FG∥平面SAB．
解：（2）∵SA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴SA⊥AB，又AD⊥AB，AD∩SA=A，SA?平面SAD，AD?平面SAD，
∴AB⊥平面SAD，
∵EF∥AB，
∴EF⊥平面SAD，
∵SF?平面SAD，AF?平面SAD，
∴EF⊥AF，EF⊥SF，
∵平面ABE⊥平面SCD，平面ABE∩平面SCD=EF，SF?平面SCD，
∴SF⊥平面ABEF．
∵AB=CD=AD=4，∠SDA=60°，
∴DF=2，AF=2$\sqrt{3}$，SD=8，
∴SF=6．
∵$\frac{EF}{CD}=\frac{SF}{SD}=\frac{3}{4}$，
∴EF=3．
∴V_S-ABEF=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABEF}•SF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（3+4）×2\sqrt{3}×6$=14$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．