Question

12．如图所示，已知直三棱柱ABC-A′B′C′，AC=AB=AA′=2，AC⊥AB，E，F，H分别是AC，AB′，BC的中点．
（1）证明：EF⊥AH
（2）求四面体E-FAH的体积．

Answer 1

分析 （1）连结B′C．由中位线定理得EF∥B′C，由AB=AC得AH⊥BC，由BB′⊥平面ABC得BB′⊥AH，故AH⊥平面BB′C，于是AH⊥B′C，从而EF⊥AH；
（2）过F作FM⊥AB于M，则FM⊥平面ABC，求出FM和S_△AEH，于是V_E-FAH=V_F-AEH．

解答 证明：（1）连结B′C．
∵E，F分别是AC，AB′的中点，
∴EF∥B′C，
∵AB=AC，H是BC的中点，∴AH⊥BC，
∵BB′⊥平面ABC，AH?平面ABC，
∴BB′⊥AH，又BC?平面BB′C，BC?平面BB′C，BB′∩BC=B，
∴AH⊥平面BB′C，∵B′C?平面BB′C，
∴AH⊥B′C，又B′C∥EF，
∴EF⊥AH．
解：（2）过F作FM⊥AB于M，则FM⊥平面ABC，FM=$\frac{1}{2}$BB′=1．
∵S_△AEH=$\frac{1}{2}AE•EH$=$\frac{1}{2}$，
∴V_E-FAH=V_F-AEH=$\frac{1}{3}{S}_{△AEH}•FM$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．