Question

17．（1）求与椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．
（2）求与双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$有相同的渐近线，且焦距为$2\sqrt{13}$的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆方程$\frac{x^2}{16+λ}+\frac{y^2}{9+λ}=1（{λ＞-9}）$，代入（4，3），解方程可得λ，进而得到所求椭圆方程；
（2）由题意可设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4λ}$-$\frac{{y}^{2}}{9λ}$=1（λ≠0），由焦距可得4|λ|+9|λ|=13，解方程即可得到所求双曲线的方程．

解答 解：（1）由所求椭圆与椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$有相同的焦点，
设椭圆方程$\frac{x^2}{16+λ}+\frac{y^2}{9+λ}=1（{λ＞-9}）$，
由（4，3）在椭圆上得$\frac{16}{16+λ}+\frac{9}{9+λ}=1⇒λ=12$，
则椭圆方程为$\frac{x^2}{28}+\frac{y^2}{21}=1$；
（2）由双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$有相同的渐近线，
设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4λ}$-$\frac{{y}^{2}}{9λ}$=1（λ≠0），
由题意可得c²=4|λ|+9|λ|=13，
解得λ=±1．
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1或$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查相同焦点的椭圆方程的求法，以及相同渐近线方程的双曲线方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于中档题．