Question

6．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF=$\frac{1}{2}$AB，PH为△PAD中AD边上的高．
（Ⅰ）证明：EF⊥平面PAB；
（Ⅱ）若PH=3，AD=$\sqrt{3}$，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积．

Answer 1

分析 （I）取PA中点G，连结DG，FG．则FG$\stackrel{∥}{=}$DF，故四边形EFDG是平行四边形，于是DG∥EF，将问题转化为证明DG⊥平面PAB即可；
（II）由AB⊥平面PAB得AB⊥AD，AB⊥PH，故而PH⊥平面ABCD，AD⊥CD，于是E到底面ABCD的距离为$\frac{1}{2}PH$，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 证明：（I）取PA中点G，连结DG，FG．
∵E，G是PB，PA的中点，
∴FG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}AB$，
又∵DF$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}AB$，
∴FG$\stackrel{∥}{=}$DF，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∴DG∥EF．
∵AB⊥平面PAD，DG?平面PAD，
∴AB⊥DG，
∵AD=PD，G是PA的中点，
∴DG⊥PA，
又PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴DG⊥平面PAB，∵DG∥EF，
∴EF⊥平面PAB．
解：（II）∵AB⊥平面PAD，PH?平面PAD，AD?平面PAD，
∴AB⊥PH，AB⊥AD，
又AB∥CD，PH⊥AD，
∴PH⊥平面ABCD，S_△BCF=$\frac{1}{2}FC•AD$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵E是PB的中点，
∴E到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{2}PH$=$\frac{3}{2}$．
∴V_E-BFC=$\frac{1}{3}$S_△BCF•h=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．