设O为坐标原点.F1.F2是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的焦点.若在双曲线上存在点M.满足∠F1MF2=60°.|OM|=2a.则该双曲线的渐近线方程为( )A．x±2y=0B．2x±y=0C．x±y=0D．$\sqrt{2}x±y=0$ 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．设O为坐标原点，F₁，F₂是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点M，满足∠F₁MF₂=60°，|OM|=2a，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

A．

x±2y=0

B．

2x±y=0

C．

x±y=0

D．

$\sqrt{2}x±y=0$

分析设M为右支上一点，|F₁M|=s，|MF₂|=t，运用余弦定理和双曲线的定义、中线长公式，化简整理，解方程可得离心率和渐近线方程．

解答解：在△F₁MF₂中，∠F₁MF₂=60°，|OM|=2a，
设M为右支上一点，|F₁M|=s，|MF₂|=t，
即有s²+t²-2stcos60°=4c²，①
又s-t=2a②，2（s²+t²）=4c²+16a²③
联立①②③可得c²=2a²，a=b，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，即为y=±x．
故选：C．

点评本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形中的余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．

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A．

a≥3

B．

a≤3

C．

a＜3

D．

a＞3

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A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

C．

$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

D．

$\frac{1}{3}$

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