Question

11．设双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$的左，右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF₂|+|AF₂|的最小值为10．

Answer 1

分析 根据双曲线的标准方程可得：a=2，b=$\sqrt{2}$，再由双曲线的定义可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=4，|BF₂|-|BF₁|=2a=4，所以得到|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=8，再根据A、B两点的位置特征可得|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，计算即可得到答案．

解答 解：根据双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$，得a=2，b=$\sqrt{2}$，
由双曲线的定义可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=4…①，
|BF₂|-|BF₁|=2a=4…②，
①+②可得：|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=8，
由于过双曲线的左焦点F₁的直线交双曲线的左支于A，B两点，
可得|AF₁|+|BF₁|=|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小．
即有|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=|AF₂|+|BF₂|-|AB|=8．
即有|BF₂|+|AF₂|=|AB|+8≥$\frac{2{b}^{2}}{a}$+8=$\frac{2×2}{2}$+8=10．
故答案为：10．

点评 本题考查两条线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意双曲线的定义和简单性质的合理运用．