Question

20．四棱锥E-ABCD中，AD∥BC，AD=AE=2BC=2AB=2，AB⊥AD，平面EAD⊥平面ABCD，点F为DE的中点．
（Ⅰ）求证：CF∥平面EAB；
（Ⅱ）若CF⊥AD，求四棱锥E-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）取AE中点G，连接GF，GB，则EF$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}AD\stackrel{∥}{=}BC$，故四边形BCFG是平行四边形，于是CF∥BG，得出CF∥平面EAB；
（2）由CF⊥AD得出BG⊥AD，又AB⊥AD，故AD⊥平面EAB，于是AD⊥EA，由面面垂直的性质得出EA⊥平面ABCD，即EA棱锥E-ABCD的高．

解答 证明：（I）取AE中点G，连接GF，GB，
∵F是ED的中点，
∴GF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，
有∵BC$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，
∴GF$\stackrel{∥}{=}BC$，
∴四边形BCFG是平行四边形，
∴GB∥CF，又BG?平面EAB，CF?平面EAB，
∴CF∥平面EAB，
（2）∵CF⊥AD，CF∥BG，
∴BG⊥AD，又AB⊥AD，BG?平面EAB，AB?平面EAB，BG∩AB=B，
∴AD⊥平面EAB，∵EA?平面AEB，
∴AD⊥EA，
又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，EA?平面EAD，
∴EA⊥平面ABCD，
∴V_E-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•EA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×1×2$=1．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．