Question

5．过抛物线y²=4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB的长为8．

Answer 1

分析 根据抛物线解析式确定出焦点F坐标，根据直线AB倾斜角表示出直线AB方程，与抛物线解析式联立消去y得到关于x的一元二次方程，设方程的两根为x₁，x₂，即A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根与系数关系及两点间的距离公式求出AB长即可．

解答 解：由题意得：抛物线y²=4x的焦点F为（1，0），
∵直线AB倾斜角为45°，
∴直线AB的斜率为1，即方程为y=x-1，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，
消去y得：（x-1）²=4x，即x²-6x+1=0，
设方程的两根为x₁，x₂，即A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
则|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+{（y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$×$\sqrt{36-4}$=$\sqrt{2}$×$\sqrt{32}$=$\sqrt{64}$=8，
故答案为：8

点评 此题考查了抛物线的简单性质，根与系数关系，两点间的距离公式，以及直线的点斜式方程，熟练掌握抛物线的简单性质是解本题的关键．