Question

14．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a，b＞0）的右焦点F，且斜率为2的直线l与双曲线的相交于点A，B，若弦AB的中点横坐标取值范围为（2c，4c），则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． （3，4）
• B． （2，3）
• C． $（\sqrt{3}，4）$
• D． $（\sqrt{3}，2）$

Answer 1

分析 设右焦点F（c，0），直线l的方程为y=2（x-c），代入双曲线的方程可得（b²-4a²）x²+8ca²x-4a²c²-a²b²=0，运用韦达定理和中点坐标公式，再由条件可得2c＜$\frac{4c{a}^{2}}{4{a}^{2}-{b}^{2}}$＜4c，结合a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求范围．

解答 解：设右焦点F（c，0），直线l的方程为y=2（x-c），
代入双曲线的方程可得（b²-4a²）x²+8ca²x-4a²c²-a²b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{8c{a}^{2}}{4{a}^{2}-{b}^{2}}$，
即有AB的中点的横坐标为$\frac{4c{a}^{2}}{4{a}^{2}-{b}^{2}}$，
由题意可得2c＜$\frac{4c{a}^{2}}{4{a}^{2}-{b}^{2}}$＜4c，
化简可得2a²＜b²＜3a²，
即有3a²＜c²＜4a²，
即$\sqrt{3}$a＜c＜2a，
可得e=$\frac{c}{a}$∈（$\sqrt{3}$，2）．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用直线方程和双曲线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．