Question

4．已知一个实心铁质的几何体的正视图和侧视图是全等的正三角形，俯视图是半径为3的圆，将3个这样的几何体熔成一个实心正方体，则正方体的表面积为（　　）

• A． 54$\root{3}{3{π}^{2}}$
• B． 54$\root{3}{3π}$
• C． 54$\root{3}{12{π}^{2}}$
• D． 54$\root{3}{12π}$

Answer 1

分析 几何体为圆锥，底面半径为3，利用体积相等求出正方体的棱长，得出表面积．

解答 解：∵实心铁质的几何体的正视图和侧视图是全等的正三角形，俯视图是半径为3的圆，
∴铁质几何体为轴截面为正三角形的圆锥，底面半径r=3，
∴圆锥的高h=3$\sqrt{3}$．
设正方体棱长为a，则a³=3×$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=27$\sqrt{3}π$，
∴a=3$\root{3}{\sqrt{3}π}$，
∴正方体的表面积S=6a²=54$\root{3}{3{π}^{2}}$．
故选：A．

点评 本题考查了圆锥的三视图，结构特征，和体积计算，属于中档题．