Question

19．已知等差数列{a_n}中，a₁=1，公差d＞0，且a₁，a₂，a₅成等比数列，${b_n}={（-1）^{n-1}}\frac{n}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，则数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{4}$[1+（-1）^n-1$\frac{1}{2n+1}$]．

Answer 1

分析 根据等差数列的通项公式及等比数列的概念便可得出（1+d）²=1+4d，而由d＞0即可解得d=2，从而得出a_n=2n-1，a_n+1=2n+1，从而便得到${b}_{n}=（-1）^{n-1}\frac{n}{（2n-1）（2n+1）}$，而将分子中的n变成$\frac{1}{4}[（2n-1）+（2n+1）]$，便可得出${b}_{n}=\frac{1}{4}•（-1）^{n-1}（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，这样通过观察前几项和的特点便可求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：a₂=1+d，a₅=1+4d；
∵a₁，a₂，a₅成等比数列；
∴${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{5}$；
即（1+d）²=1•（1+4d）；
又d＞0，∴解得d=2；
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，a_n+1=2n+1；
∴${b}_{n}=（-1）^{n-1}\frac{n}{（2n-1）（2n+1）}$
=$（-1）^{n-1}•\frac{1}{4}•\frac{（2n+1）+（2n-1）}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{4}•（-1）^{n-1}（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$；
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=$\frac{1}{4}（1+\frac{1}{3}）+（-\frac{1}{4}）（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）+…$$+\frac{1}{4}•（-1）^{n-1}（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{4}[1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+…+（-1）^{n-1}（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）]$；
∴若n为奇数，${S}_{n}=\frac{1}{4}（1+\frac{1}{2n+1}）$；若n为偶数，${S}_{n}=\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2n+1}）$；
即${S}_{n}=\frac{1}{4}[1+（-1）^{n-1}\frac{1}{2n+1}]$．
故答案为：$\frac{1}{4}[1+（-1）^{n-1}\frac{1}{2n+1}]$．

点评 考查等差数列的通项公式，以及等比数列的概念，拆项法的运用，数列前n项和的概念，以及通过归纳求数列前n项和的方法．