Question

2．已知函数$f（x）=1+\frac{a}{{{2^x}+1}}（{a∈R}）$．
（Ⅰ）是否存在实数a的值，使f（x）的图象关于原点对称？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）若a=1，t（2^x+1）f（x）＞2^x-2对x∈R恒成立，求实数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：根据f（0）=0，求出a的值，
法二：根据函数的奇偶性进行判断；
（Ⅱ）求出f（x）的表达式，问题转化为t＞$\frac{{2}^{x}-2}{{2}^{x}+2}$对x∈R恒成立，令g（x）=$\frac{{2}^{x}-2}{{2}^{x}+2}$，g（x）的上线，从而求出t的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）定义域为R，又知函数为R上的奇函数，则f（0）=0⇒a=-2，
下面证明a=-2时：$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是奇函数，
∵$f（-x）=1-\frac{2}{{{2^{-x}}+1}}=1-\frac{{2•{2^x}}}{{1+{2^x}}}=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}=\frac{{-（{1+{2^x}}）+2}}{{1+{2^x}}}=-1+\frac{2}{{1+{2^x}}}=-f（x）$，
对定义域R上的每一个x都成立，
∴f（x）为R上的奇函数，
∴存在实数a=-2，使函数f（x）为奇函数；
另解：定义域为R，又知函数为R上的奇函数，
则f（-x）=-f（x）对f（x）定义域R上的每一个x都成立．
∴$1+\frac{a}{{{2^{-x}}+1}}=-1-\frac{a}{{{2^x}+1}}$
∴$-2=\frac{a}{{{2^{-x}}+1}}+\frac{a}{{{2^x}+1}}$=$\frac{{a•{2^x}}}{{（{{2^{-x}}+1}）•{2^x}}}+\frac{a}{{{2^x}+1}}$=$\frac{{a•{2^x}}}{{1+{2^x}}}+\frac{a}{{{2^x}+1}}$=$\frac{{a（1+{2^x}）}}{{1+{2^x}}}$=a，
∴a=-2，
∴存在实数a=-2，使函数f（x）为奇函数．
（Ⅱ）若a=1，f（x）=1+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
t（2^x+1）f（x）＞2^x-2对x∈R恒成立，
即t（2^x+1）（1+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$）＞2^x-2对x∈R恒成立，
即t＞$\frac{{2}^{x}-2}{{2}^{x}+2}$对x∈R恒成立，
令g（x）=$\frac{{2}^{x}-2}{{2}^{x}+2}$=$\frac{1-\frac{2}{{2}^{x}}}{1+\frac{2}{{2}^{x}}}$＜1，
∴t≥1．

点评 本题考查了函数画出了问题，考查函数的奇偶性以及转化思想，是一道中档题．