Question

11．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AA₁=6．若E，F分别是棱BB₁，CC₁上的点，则三棱锥A-A₁EF的体积是8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 用三棱柱的体积减去三棱锥A₁-EFC₁B₁和三棱锥A-BCFE的体积．

解答 解：取BC中点D，连结AD，则AD⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁，平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面BCC₁B₁．
∵△ABC是等边三角形，AB=4，
∴AD=2$\sqrt{3}$．
∵AA₁∥平面BCC₁B₁，E，F是BB₁，CC₁的中点，
∴V_A-BCFE=V${\;}_{{A}_{1}-EF{C}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{四边形BCFE}•AD$=$\frac{1}{3}×4×3×2\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
∴V${\;}_{A-{A}_{1}EF}$=V${\;}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-2V_A-BCFE=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×6$-2×$8\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．
故答案为：8$\sqrt{3}$

点评 本题考查了棱柱的结构特征，棱锥的体积计算，属于基础题．