Question

20．已知x．y，z均为实数，且a=x²-y一z+$\frac{π}{2}$，b=y²-x-z+$\frac{π}{3}$，c=z²-x-y+$\frac{π}{4}$，求证：a，b，c中最多有两个小于或等于0．

Answer 1

分析 假设a，b，c均小于或等于0，由条件和不等式的性质可以推出矛盾，可得假设不正确，从而命题得证．

解答 证明：假设a，b，c均小于或等于0，即x²-y一z+$\frac{π}{2}$≤0，y²-x-z+$\frac{π}{3}$≤0，z²-x-y+$\frac{π}{4}$≤0，…（4分）
由不等式的可加性得：x²-y-z+$\frac{π}{2}$+y²-x-z+$\frac{π}{3}$+z²-x-y+$\frac{π}{4}$≤0，…（8分）
即（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+$\frac{13}{12}π$-3≤0，…（10分）
这显然不成立，故假设不正确，所以，a、b、c中最多有两个小于或等于0． …（12分）

点评 本题主要考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点，属于中档题．