Question

10．已知双曲线实轴长为6，一条渐近线方程为4x-3y=0．过双曲线的右焦点F作倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线交双曲线于A、B两点
（1）求双曲线的方程；
（2）求线段AB的中点C到焦点F的距离．

Answer 1

分析 （1）运用双曲线的渐近线方程可得$\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，结合条件2a=6，可得a，b，进而得到双曲线的方程；
（2）求得直线AB的方程，代入双曲线的方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得C的坐标，再由两点的距离公式计算即可得到所求值．

解答 解：（1）由题得2a=6，$\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，
得a=3，b=4，
可得双曲线方程为$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$；
（2）由题意可得F（5，0），直线AB的方程为y=x-5，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=x-5\\ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\end{array}\right.$，
消去y，可得7x²+90x-369=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得${x_1}+{x_2}=-\frac{90}{7}$，
可得中点C的横坐标为${x_0}=-\frac{45}{7}$，
可得C（-$\frac{45}{7}$，-$\frac{80}{7}$），
F点横坐标为x=5，可得F（5，0），
即有|CF|=$\sqrt{（5+\frac{45}{7}）^{2}+（-\frac{80}{7}）^{2}}$=$\frac{80\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线方程，考查两点的距离公式的运用，注意联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．