Question

8．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=AD=2，CB=CD=$\sqrt{7}$，∠BAD=120°，点E在线段AC上，且AE=2EC，F为线段PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PBD；
（2）若二面角B-PC-D的平面角的余弦值为$\frac{1}{5}$，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BD=O，连接PO，由题意可知AC⊥BD，计算出AO，OC，可发现E是OC的中点，由中位线定理可得EF∥PO，故EF∥平面PBD；
（2）建立空间坐标系，求出平面PBC和平面PCD的法向量，利用二面角列出方程解出PA，代入体积公式计算棱锥的体积．

解答 解：（1）设AC∩BD=O，连接PO，
∵AB=AD，CB=CD，∴AC⊥BD，
∵AB=AD=2，∠BAD=120°，∴OA=1，BD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△COD中，CD=$\sqrt{7}$，OD=$\sqrt{3}$，∴OC=2．
∵AE=2EC，∴E为OC中点，又∵F为PC的中点，
∴EF∥PO，又PO?面PBD，EF?面PBD，
∴EF∥平面PBD．
（2）以O为坐标原点，OB，OC所在直线为x轴，y轴，过O且与平面ABCD垂直的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系O-xyz
则O（0，0，0），A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，2，0），D（-$\sqrt{3}$，0，0），P（0，-1，t）
$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，2，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，-3，t），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，-2，0）
设平面BPC的法向量为$\overrightarrow{n1}$=（x₁，y₁，z₁），平面DPC的法向量为$\overrightarrow{n2}$=（x₂，y₂，z₂），
由$\overrightarrow{n1}$•$\overrightarrow{BC}$=0且$\overrightarrow{n1}$•$\overrightarrow{CP}$=0得：$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}{x}_{1}+2{y}_{1}=0}\\{-3{y}_{1}+t{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（2t，$\sqrt{3}$t，3$\sqrt{3}$）
由$\overrightarrow{n2}$•$\overrightarrow{CD}$=0且$\overrightarrow{n2}$•$\overrightarrow{CP}$=0得：$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}{x}_{2}-2{y}_{2}=0}\\{-3{y}_{2}+t{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{n2}$=（2t，-$\sqrt{3}$t，-3$\sqrt{3}$）
则cos＜$\overrightarrow{n1}$，$\overrightarrow{n2}$＞=$\frac{\overrightarrow{n1}•\overrightarrow{n2}}{|\overrightarrow{n1}|•|\overrightarrow{n2}|}$=$\frac{{t}^{2}-27}{7{t}^{2}+27}$，
∵二面角B-PC-D的平面角的余弦值为$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{{t}^{2}-27}{7{t}^{2}+27}$=$\frac{1}{5}$或$\frac{{t}^{2}-27}{7{t}^{2}+27}$=-$\frac{1}{5}$，解得t=3．∴PA=3．
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$•S_{四边形ABCD}•PA=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•AC•BD•PA=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•3•2$\sqrt{3}$•3=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，二面角的求法，棱锥的体积计算，属于中档题．