Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，$AB=2DC=2\sqrt{5}$．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （I）欲证平面MBD⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD内一直线与平面PAD垂直，而根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知BD⊥平面PAD；
（II）过P作PO⊥AD交AD于O，根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知PO⊥平面ABCD，从而PO为四棱锥P-ABCD的高，四边形ABCD是梯形，根据梯形的面积公式求出底面积，最后用锥体的体积公式进行求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：在△ABD中，由于AD=2，BD=4，$AB=2\sqrt{5}$，
∴AD²+BD²=AB²．故AD⊥BD．…（2分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．…（4分）
又BD?平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD．…（6分）
（Ⅱ）解：过P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD．∴PO为四棱锥P-ABCD的高．…（7分）
又△PAD是边长为2的等边三角形，
∴$PO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}×2=\sqrt{3}$．…（8分）
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，所以四边形ABCD是梯形．…（9分）
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为$\frac{2×4}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，…（10分）
∴四边形ABCD的面积为$S=\frac{{2\sqrt{5}+\sqrt{5}}}{2}×\frac{{4\sqrt{5}}}{5}=6$．…（11分）
故${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}×6×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及棱锥的体积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于中档题．