Question

6．已知a＞0，若方程$\frac{a}{x-a}$=$\sqrt{4ax-2{x}^{2}}$有实数解，则实数a的取值范围为[$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 化简$\frac{a}{x-a}$=$\sqrt{4ax-2{x}^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-2（x-a）^{2}}$可得$\frac{{a}^{2}}{（x-a）^{2}}$=2a²-2（x-a）²，从而利用判别式求解．

解答 解：∵$\frac{a}{x-a}$=$\sqrt{4ax-2{x}^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-2（x-a）^{2}}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{（x-a）^{2}}$=2a²-2（x-a）²，
∴2（x-a）⁴-2a²（x-a）²+a²=0，
∴△=（-2a²）²-4×2a²≥0，
∴4a²（a²-2）≥0，
故a≥$\sqrt{2}$；
故答案为：[$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查了整体思想与转化思想的应用，同时考查了方程的化简与运算及判别式法的应用．