Question

14．若关于x的方程（$\frac{1}{2}$）^x=$\frac{1}{1-lga}$有正根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1]
• B． （0，1）
• C． （1，10）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 先求出方程有解的范围，利用补集思想，先求出（$\frac{1}{2}$）^x=$\frac{1}{1-lga}$没有正根的等价条件即可得到结论．

解答 解：若（$\frac{1}{2}$）^x=$\frac{1}{1-lga}$有解，则$\frac{1}{1-lga}$＞0，则1-lga＞0，lga＜1，即0＜a＜10，
若（$\frac{1}{2}$）^x=$\frac{1}{1-lga}$没有正根，
则x≤0时，方程有解，
∵（$\frac{1}{2}$）^x≥1，
∴$\frac{1}{1-lga}$≥1，则0＜1-lga≤1，
即0≤lga＜1，即1≤a＜10，
则若关于x的方程（$\frac{1}{2}$）^x=$\frac{1}{1-lga}$有正根，
则0＜a＜1，
故选：B

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据指数函数的性质，利用正难则反的原则进行转化是解决本题的关键．