Question

4．如图，双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a，b＞0）虚轴上的端点B（0，b），右焦点F，若以B为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P，且$\overrightarrow{BP}$∥$\overrightarrow{PF}$，则该双曲线的离心率为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，求出a，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．

解答 解：由题意$\overrightarrow{BP}$∥$\overrightarrow{PF}$，可得：
BF垂直于双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x，
由F（c，0），B（0，b），k_BF=-$\frac{b}{c}$，
可得-$\frac{b}{c}$•$\frac{b}{a}$=-1，
即b²-ac=0，
即c²-a²-ac=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得：
e²-e-1=0，
又e＞1，
可得e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定BF垂直于双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x是解题的关键．