Question

12．根据下列条件求方程．
（1）若抛物线y²=2px的焦点与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦点重合，求抛物线的准线方程（5分） 
（2）已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有相同的焦点，求此双曲线标准方程．（5分）

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的右焦点，抛物线的焦点，由题意可得p=4，进而得到抛物线的准线方程；
（2）求出椭圆的焦点，设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），由题意可得c=4，运用a，b，c的关系和离心率公式，解方程可得a，b，进而得到双曲线的标准方程．

解答 解：（1）易知椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦点为（2，0），
由抛物线y²=2px的焦点（$\frac{p}{2}$，0）与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦点重合，
可得p=4，
可得抛物线y²=8x的准线方程为x=-2．
（2）椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点为（-4，0）和（4，0），
可设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由题意可得c=4，即a²+b²=16，
又e=$\frac{c}{a}$=2，
解得a=2，b=2$\sqrt{3}$，
则双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

点评 本题考查圆锥曲线的方程和性质，主要是抛物线的准线方程和双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题．