Question

1．过原点的直线l与双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=-1$有两个交点，则直线l的斜率的取值范围是（　　）

• A． $（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{-∞，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）∪（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞}）$
• C． $[{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• D． $（{-∞，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}]∪[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 设过原点的直线方程为y=kx，与双曲方程联立，得：x²（3k²-1）-9=0，因为直线与双曲有两个交点，所以△=36（3k²-1）＞0，由此能求出k的范围．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=-1$，即为$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1，
设过原点的直线方程为y=kx，
与双曲方程联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{3{y}^{2}-{x}^{2}=9}\end{array}\right.$，
得：x²（3k²-1）-9=0，
因为直线与双曲有两个交点，所以△=36（3k²-1）＞0，
∴k²＞$\frac{1}{3}$，
解得k＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，或k＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查直线和双曲线的位置关系，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．