Question

10．在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中点，则异面直线BE与B₁D₁所成角的余弦值等于$\frac{\sqrt{10}}{5}$，若正方体边长为1，则四面体B-EB₁D₁的体积为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 取CC₁中点F，连接D₁F，B₁F，则BE∥D₁F，故∠B₁D₁F为异面直线BE与B₁D₁所成的角．在△B₁D₁F中求出三边长，利用余弦定理或等腰三角形知识求出cos∠B₁D₁F，四面体B-EB₁D₁的体积等于三棱锥D₁-BB₁E的体积．

解答 解：取CC₁中点F，连接D₁F，B₁F，则BE$\stackrel{∥}{=}$D₁F，
∴∠B₁D₁F为异面直线BE与B₁D₁所成的角．
设正方体棱长为1，则B₁D₁=$\sqrt{2}$，B₁F=D₁F=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴cos∠B₁D₁F=$\frac{\frac{1}{2}{B}_{1}{D}_{1}}{{D}_{1}F}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$．
V${\;}_{B-E{B}_{1}{D}_{1}}$=V${\;}_{{D}_{1}-B{B}_{1}E}$=$\frac{1}{3}{S}_{△B{B}_{1}E}•{A}_{1}{D}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了正方体的结构特征，空间角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题．