Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=PB，O为AB的中点，OD⊥PC．
（1）求证：OC⊥PD；
（2）若PD与平面PAB所成的角为30°，AB=2，求四棱锥的P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）连结OP，由侧面PAB⊥底面ABCD得OP⊥平面ABCD，故OP⊥OC，OP⊥OD，又OD⊥PC，故OD⊥平面OPC，于是OD⊥OC，从而OC⊥平面OPD，于是OC⊥PD；
（2）由侧面PAB⊥底面ABCD得AD⊥平面APB，于是∠APD=30°，由直角三角形性质可知AD=1，从而求出棱锥的高OP．

解答 证明：（1）连结OP，
∵PA=PB，O是AB的中点
∴OP⊥AB．
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，OP?平面PAB，
∴OP⊥平面ABCD，
∵OC?平面ABCD，OD?平面ABCD，
∴OP⊥OD，OP⊥OC，
又∵OD⊥PC，OP?平面OPC，PC?平面OPC，OP∩PC=P，
∴OD⊥平面OPC，
∵OC?平面OPC，
∴OD⊥OC，
又∵OP⊥OC，OP?平面OPD，OD?平面OPD，OP∩OD=O，
∴OC⊥平面OPD，
∵PD?平面OPD，
∴OC⊥PD．
解：（2）取CD中点E，连结OE，
∵OD⊥OC，∴AD=OE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}AB=1$．
∵AD⊥AB，平面ABCD⊥平面PAB，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面PAB，
∴∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角．
∴∠DPA=30°，∴PA=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$，
∴OP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{O}^{2}}=\sqrt{2}$．
∴${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}PO•{S_{ABCD}}=\frac{1}{3}×\sqrt{2}×1×2=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．