Question

20．已知长方形ABCD中，AB=3，AD=4，现将长方形沿对角线BD折起，使AC=a，得到一个四面体A-BCD，如图所示．
（1）试问：在折叠的过程中，直线AB与CD能否垂直？若能，求出相应的a值；若不能，请说明理由．
（2）求四面体A-BCD体积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用AB⊥平面ACD，结结合勾股定理，即可得出结论；
（2）将矩形折叠后得到三棱锥，四面体ABCD体积最大值为两个面互相垂直求三棱锥的底面积和高计算．

解答 解：（1）直线AB与CD能垂直．
∵AB⊥AD，AB⊥CD，AD∩CD=D，
∴AB⊥平面ACD，
∴AB⊥AC，
此时a=$\sqrt{16-9}$=$\sqrt{7}$，
∴a=$\sqrt{7}$时，直线AB与CD能垂直；
（2）由题意可得，△BCD面积$\frac{1}{2}×3×4$=6为定值，当点A到平面BCD的距离最大，即当平面CBD⊥平面ABD时，四面体A-BCD体积最大．
过点A在平面ABD内作AH⊥BD，垂足为H，则AH⊥平面BCD，AH就是该四面体的高．
在△ABD中，AH=$\frac{AB•AD}{BD}$=$\frac{12}{5}$，
∴四面体A-BCD体积的体积最大值为$\frac{1}{3}$•S_△BCD•AH=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了平面与立体几何的关系，平面图形的折叠问题，考查了三棱锥中线线关系，以及三棱锥的体积最大值，较综合，属于中档题．