Question

11．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．
（Ⅰ） 当∠PEC=60°时，求∠PDF的度数；
（Ⅱ） 求PE•PF的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BC，依题意知，∠CAB+∠CBA=∠EAP+∠PEC，继而可得∠CBA=∠PEC，又∠PEC=60°，于是可得∠PDF=∠CBA=∠PEC=60°；
（Ⅱ） 解法1：由（Ⅰ）知∠PDF=∠PEC，利用D、C、E、F四点共圆PE•PF=PC•PD，及割线定理可得PC•PD=PB•PA=24，于是可得答案；
解法2：由∠PEC=∠PDF，∠EPC=∠DPF可得△PEC～△PDF，从而可得PE•PF=PC•PD，再结合PC、PA都是圆O的割线，得到PC•PD=PB•PA=24，从而可求得PE•PF的值．

解答 解：（Ⅰ） 连结BC，∵AB是圆O的直径，∴则∠ACB=90°，-----（1分）
又∠APF=90°，∠CAB+∠CBA=∠EAP+∠PEC--------------（2分）
∴∠CBA=∠PEC，--------------------------------------（3分）
∵∠PEC=60°∴∠PDF=∠CBA=∠PEC=60°；-------------（4分）
（Ⅱ） 解法1：由（Ⅰ）知∠PDF=∠PEC，
∴D、C、E、F四点共圆，---------------------------------（6分）
∴PE•PF=PC•PD，-----------------------------------------------------------（7分）
∵PC、PA都是圆O的割线，∴PC•PD=PB•PA=24，------------------------------（9分）
∴PE•PF=24．----------------------------------------------------------------（10分）
解法2：∵∠PEC=∠PDF，∠EPC=∠DPF，-----------------------------------（6分）
∴△PEC～△PDF-------------------------------------------------------------（7分）
∴$\frac{PE}{PD}=\frac{PC}{PF}$即PE•PF=PC•PD，-----------------------------------------------（8分）
∵PC、PA都是圆O的割线，∴PC•PD=PB•PA=24--------------------------------（9分）
∴PE•PF=24．---------------------------------------------------------------（10分）

点评 本题考查与圆有关的线段的求法，考查相似三角形与割线定理的应用，解题时要认真审题，注意圆的简单性质、三角形相似的性质的合理运用，属于中档题．