Question

5．已知椭圆与双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$共同焦点，它们的离心率之和为$\frac{5}{2}$，则此椭圆方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{8}=1$
• B． $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{16}=1$
• C． $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$
• D． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

Answer 1

分析 求得双曲线的焦点和离心率，可设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），可得c=2，即a²-b²=4，运用离心率公式解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．

解答 解：双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的焦点为（±2，0），
离心率为2，
由题意可设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
可得c=2，即a²-b²=4，
又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．