Question

16．方程$（1-x）sinπx=\frac{1}{2}$，当x∈[-2，4]时，所有根的和等于（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 由$（1-x）sinπx=\frac{1}{2}$，得2sinπx=$\frac{1}{1-x}$，设y=2sinπx和y=$\frac{1}{1-x}$，作出两个函数的图象，利用函数的对称性进行求解即可．

解答 解：由$（1-x）sinπx=\frac{1}{2}$，得2sinπx=$\frac{1}{1-x}$，
设y=2sinπx和y=$\frac{1}{1-x}$，作出两个函数的图象，
则两个函数都关于点（1，0）对称，
由图象可知两个函数共有8个交点，它们两两关于点（1，0）对称，
不妨设关于x对称的两个零点的横坐标分别为x₁，x₂，
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=1$，
即x₁+x₂=2，
∴所有8个零点之和为4（x₁+x₂）=4×2=8，
故选：D

点评 本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合将函数转化为两个函数的交点问题，结合函数的对称性是解决本题的关键．综合考查函数的性质．