Question

17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂是圆心为（3，$\frac{π}{2}$），半径为1的圆．
（Ⅰ）求曲线C₁，C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M为曲线C₁上的点，N为曲线C₂上的点，求|MN|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去参数φ可得C₁的直角坐标方程，易得曲线C₂的圆心的直角坐标为（0，3），可得C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M（2cosφ，sinφ），由三角函数和二次函数可得|MC₂|的取值范围，结合圆的知识可得答案．

解答 解：（Ⅰ）消去参数φ可得C₁的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
∵曲线C₂是圆心为（3，$\frac{π}{2}$），半径为1的圆
曲线C₂的圆心的直角坐标为（0，3），
∴C₂的直角坐标方程为x²+（y-3）²=1；
（Ⅱ）设M（2cosφ，sinφ），则|MC₂|=$\sqrt{（2cosφ）^{2}+（sinφ-3）^{2}}$
=$\sqrt{4co{s}^{2}φ+si{n}^{2}φ-6sinφ+9}$=$\sqrt{-3si{n}^{2}φ-6sinφ+13}$
=$\sqrt{-3（sinφ+1）^{2}+16}$，
∴-1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC₂|≤4，
由题意结合图象可得|MN|的最小值为2-1=1，最大值为4+1=5，
∴|MN|的取值范围为[1，5]

点评 本题考查椭圆的参数方程，涉及圆的知识和极坐标方程，属中档题．