Question

18．经过点（2，1），且渐近线与圆x²+（y-2）²=1相切的双曲线的标准方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{\frac{11}{3}}$-$\frac{{y}^{2}}{11}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1
• C． $\frac{{y}^{2}}{\frac{11}{3}}$-$\frac{{x}^{2}}{11}$=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{11}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{11}{3}}$=1

Answer 1

分析 设双曲线的方程为mx²-ny²=1（mn＞0），将（2，1）代入双曲线的方程，求得渐近线方程，再由直线和圆相切的条件：d=r，解方程可得m，n，进而得到双曲线的方程．

解答 解：设双曲线的方程为mx²-ny²=1（mn＞0），
将（2，1）代入方程可得，4m-n=1，①
由双曲线的渐近线方程y=±$\sqrt{\frac{m}{n}}$x，
圆x²+（y-2）²=1的圆心为（0，2），半径为1，
渐近线与圆x²+（y-2）²=1相切，可得：
$\frac{2}{\sqrt{1+\frac{m}{n}}}$=1，即为$\frac{m}{n}$=3，②
由①②可得m=$\frac{3}{11}$，n=$\frac{1}{11}$，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{11}{3}}$-$\frac{{y}^{2}}{11}$=1．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，以及直线和圆相切的条件：d=r，考查化简整理的运算能力，属于中档题．