Question

3．如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M，T（不与A，B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT
（1）求证：$\frac{DT}{DO}=\frac{DC}{DM}$；
（2）若∠BMC=40°，试求∠DOT的大小．

Answer 1

分析 （1）利用切割弦定理求得DT•DM=DB•DA，再由圆的半径间的关系得到DB•DA=DO•DC，等量代换得答案；
（2）由（1）结合∠TDO=∠CDM，得到△DTO∽△DCM，则有∠DOT=∠DMC．最后根据圆周角定理得∠DOT的大小．

解答 证明：（1）∵MD与圆O相交于点T
∴由切割线定理DN²=DT•DM，DN²=DB•DA，
得DT•DM=DB•DA，
设半径OB=r（r＞0），
∵BD=OB，且$BC=OC=\frac{r}{2}$，
∴DB•DA=r•3r=3r²，$DO•DC=2r•\frac{3r}{2}=3{r^2}$，
∴DT•DM=DO•DC，
则$\frac{DT}{DO}=\frac{DC}{DM}$；
（2）由（1）可知，DT•DM=DO•DC，且∠TDO=∠CDM，
故△DTO∽△DCM，
∴∠DOT=∠DMC．
根据圆周角定理得，∠DOT=2∠DMB，则∠BMC=∠DMB=40°，
∴∠DOT=80°．

点评 本题考查与圆有关的比例线段，考查了切割弦定理的应用，训练了三角形相似的判定方法，是中档题．