Question

14．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面AA₁B₁B⊥平面ABC，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）若∠A₁AB=∠ACB=60°，AB=BB₁，AC=2，BC=1，求三棱锥A₁-ABD的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AB₁，交A₁B于点O，连接DO，根据线面平行的判定定理即可证明B₁C∥平面A₁BD；
（2）若∠A₁AB=∠ACB=60°，AB=BB₁，AC=2，BC=1，分别求出三棱锥的底面积和高的大小，根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥A₁-ABD的体积．

解答 （1）连接AB₁，交A₁B于点O，连接DO
在△ACB₁中，点D是AC的中点，点O是AB₁的中点
∴CB₁∥DO，
∵BC₁?平面A₁BD，DO?平面A₁BD
∴BC₁∥平面A₁BD．
（2）取AB的中点E，连接A₁E，ED，
则ED∥BC，且ED=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{2}$，
∵∠A₁AB=60°，AB=BB₁，
∴四边形AA₁B₁B是菱形，
则AE⊥AB，∵平面AA₁B₁B⊥平面ABC，
∴AE⊥平面ABC，
即AE是三棱锥A₁-ABD的高，
∵∠ACB=60°，AC=2，BC=1，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}-2AC•BCcos60°}$=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
则满足AC²=BC²+AB²，
即△ABC是直角三角形，
则BC⊥AB，即ED⊥AB，
则△ABD的面积S_△ABD=$\frac{1}{2}AB•ED$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
AE=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$
则三棱锥A₁-ABD的体积V=$\frac{1}{3}$S_△ABD•AE=$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及三棱锥体积的计算，根据面面垂直和线面平行的性质定理求出三棱锥的底面积和高是解决本题的关键．