Question

7．若存在实数x₀，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为函数f（x）的不动点．己知函数f（x）=x³+ax²+x+b的图象关于点（p，0）对称，p＞0，证明：“f（x）恰有一个零点”是“f（x）恰有一个不动点”的充分不必要条件．

Answer 1

分析 由已知得到a，b与p的关系，代入原函数，可得f（x）=x³-3px²+x+2p³-p，求出使函数f（x）有一个不动点的p的范围，验证存在p使函数f（x）恰有一个零点得答案．

解答 证明：∵f（x）=x³+ax²+x+b的图象关于点（p，0）对称，
设M（x，y），M关于点（p，0）的对称点为M′（2p-x，-y），
则-y=（2p-x）³+a（2p-x）²+（2p-x）+b，
即y=-（2p-x）³-a（2p-x）²-（2p-x）-b=x³-（6p+a）x²+（12p²-4ap+1）x-8p³-4ap²-2p-b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-（6p+a）}\\{b=-8{p}^{3}-4a{p}^{2}-2p-b}\end{array}\right.$，则a=-3p，b=2p³-p．
∴f（x）=x³-3px²+x+2p³-p．
由f（x）恰有一个不动点，得x³-3px²+x+2p³-p=x只有一个实根，
即x³-3px²+2p³-p=0只有一个实根，
令g（x）=x³-3px²+2p³-p，
g′（x）=3x²-6px，
∴当x∈（-∞，0），（2p，+∞）时，g′（x）＞0，
当x∈（0，2p）时，g′（x）＜0，
∴g（x）的极大值为g（0）=2p³-p，极小值为g（2p）=4p³-p．
要使g（x）=x³-3px²+2p³-p只有一个零点，则2p³-p＜0或4p³-p＞0，
解得：p＞0．
由f（x）=x³-3px²+x+2p³-p．
得f′（x）=3x²-6px+1，
当△=36p²-12≤0，即-$\frac{\sqrt{3}}{3}≤p≤\frac{\sqrt{3}}{3}$时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上单调递增，f（x）仅有一个零点；
∴存在P，使得f（x）恰有一个零点．
∴“f（x）恰有一个零点”是“f（x）恰有一个不动点”的充分不必要条件．

点评 本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判定方法，训练了利用导数求函数的最值，考查学生的逻辑思维能力和推理论证能力，是中档题．