Question

4．如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且$FD=\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠CBA=60°，求几何体EFABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠CBA=60°，利用分割法结合棱锥和棱柱的体积公式即可求几何体EFABCD的体积．

解答 解：（Ⅰ）如图，过点E作EH⊥BC于H，连接HD．
∴$EH=\sqrt{3}$．
∵平面ABCD⊥平面BCE，EH⊆平面BCE，
平面ABCD∩平面BCE于BC，
∴EH⊥平面ABCD．
又∵FD⊥平面ABCD，$FD=\sqrt{3}$．
∴$FD\underline{\underline{∥}}EH$．
∴四边形EHDF为平行四边形．
∴EF∥HD．
∵EF?平面ABCD，HD⊆平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）连接CF，HA．由题意，得HA⊥BC．
∵HA⊆平面ABCD，平面ABCD⊥平面BCE于BC，
∴HA⊥平面BCE．
∵FD∥EH，EH⊆平面BCE，FD?平面BCE，
∴FD∥平面BCE．
同理，由HB∥DA可证，DA∥平面BCE．
∵FD∩DA于D，FD?平面ADF，DA?平面ADF，
∴平面BCE∥平面ADF．
∴F到平面BCE的距离等于HA的长．
∵FD为四棱锥F-ABCD的高，
∴V_EFABCD=V_F-BCE+V_F-ABCD=$\frac{1}{3}{S_{△BCE}}×HA+\frac{1}{3}{S_{平行四边形ABCD}}×FD$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}+\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$=3．…（12分）

点评 本题主要考查空间几何体线面平行的判定以及几何体的体积的计算，利用相应的判定定理以及分割法是解决本题的关键．