Question

12．△ABC中，AB=1，BC=2，∠B=$\frac{π}{3}$，记$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$
（Ⅰ）求（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）的值；
（Ⅱ）求|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的值．

Answer 1

分析 （I）先利用数量级的定义求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，再根据向量数量级的运算性质计算；
（II）求出|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²，开方即可．

解答 解：（I）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|AB|×|BC|×cos（π-B）=1×2×（-$\frac{1}{2}$）=-1．
${\overrightarrow{a}}^{2}$=|AB|²=1，${\overrightarrow{b}}^{2}$=|BC|²=4，
∴（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=8${\overrightarrow{a}}^{2}$-10$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-3${\overrightarrow{b}}^{2}$=6．
（II）∵（2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）²=4${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=4+4+4=12．
∴|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量级运算，属于基础题．