Question

17．设f（x）=（x²+x-1）⁹（2x+1）⁶，试求f（x）的展开式中：
（1）所有项的系数和；
（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和．

Answer 1

分析 （1）设 f（x）=（x²+x-1）⁹（2x+1）⁶ =a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…+a₂₄x²⁴，令x=1，可得所有项的系数和．
（2）再令x=-1，可得所有奇次项的系数和减去偶次项的系数和的值，再结合（1）的结果，求得所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和．

解答 解：（1）设 f（x）=（x²+x-1）⁹（2x+1）⁶ =a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…+a₂₄x²⁴，
令x=1，可得所有项的系数和为 a₀+a₁+a₂ +a₃ +a₄ +…+a₂₄=3⁶=729 ①，即所有项的系数和为729．
（2）再令x=-1，可得 a₀ -a₁+a₂ -a₃ +a₄ +…+a₂₂-a₂₃+a₂₄=-1 ②，
由①②求得偶次项的系数和为 a₀+a₂ +a₄ +…+a₂₄=364，所有奇次项的系数和为 a₁ +a₃ +a₅ +…+a₂₃=365．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．